回路に電圧や電流が印加されたとき、短時間で見ると電圧や電流は不安定な状態になっています。時間が経てば電圧や電流は安定状態になりますが、この不安定な状態でいる時間のことを過渡期間といい、この過渡期間で発生する現象を過渡現象といいます。
今回は、CR直列回路を使用して過渡現象について調べてみたいと思います。
コンデンサの性質
コンデンサは次の式で表されるように電気エネルギーを蓄える性質があることから、電圧や電流が変化すると蓄えられるエネルギーが変化し、安定するまでの時間を要します。
$$W=\frac{1}{2}CV^2$$
よって、下図のようなCR回路でスイッチをオンすると、コンデンサの電圧\((V_C)\)は徐々に上昇していきます。これを充電特性といいます。また、スイッチをオフすると、コンデンサの電圧\((V_C)\)は徐々に低下していきます。これを放電特性といいます。これは、電荷がコンデンサに供給・放出されることで発生する現象です。
なお、充電・放電特性の電圧の立上り/立下り方は、抵抗の大きさやコンデンサの容量によって変わってきますので、更に確認していきましょう。
CR回路の充電特性
下のCR回路でコンデンサの充電特性についてシミュレーションしてみると、抵抗の電圧\((V_R)\)とコンデンサの電圧\((V_C)\)は、お互いに逆の動きになっていることがわかります。
つまり、電源を印加した瞬間はコンデンサに電荷は溜まっていないので、\(V_C=0V\)から始まり充電が完了すると電流が流れなくなるので\(V_C=5V\)となります。
抵抗の場合は、電圧を印加した瞬間はコンデンサはカラの状態なので、\(V_R=5V\)から始まりコンデンサの充電が完了すると、コンデンサの電圧は\(V_C=5V\)となるため抵抗には電流が流れず\(V_R=0V\)となります。
これらの変化を式で表すと次にようになります。
$$V_R=E･\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t}~~~~~[V]$$
$$V_C=E･(1-\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t})~~~~~[V]$$
$$i=\frac{E}{R}･\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t}~~~~~[A]$$
時定数について
上記のCR回路において、抵抗及びコンデンサの値を変化させたとき、過渡現象がどのように変化するかシミュレーションすると下記のようになりました。
前述の式で出てくる \(\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t}\)のCとRの積によって、過渡現象の変化の速さが決まります。
上のグラフのように、抵抗値やコンデンサの容量が大きくなると、時定数も大きくなり電圧が安定するまで時間がかかるようになります。
このCとRの積を時定数といい、次の式で表します。
$$\tau=C･R~~~~~[s]$$
記号はTまたはτ、単位は[s]で表します。
\(\tau=C･R~~[s]\) 後の変化は必ず63.2%になる
前述の式に\(t=\tau=C･R~~[s]\) の時定数を代入してみます。
\(V_R=E･\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t}=E･\varepsilon^{-\frac{1}{\tau}\tau}\)
\(~~~~=E･\varepsilon^{-1}=\frac{E}{\varepsilon}=\frac{E}{2.718}\fallingdotseq0.368E\)
\(V_C=E･(1-\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t})=E･(1-\varepsilon^{-\frac{1}{\tau}\tau})\)
\(~~~~=E･(1-\varepsilon^{-1})=E･(1-\frac{1}{\varepsilon})\fallingdotseq0.632E\)
\(i=\frac{E}{R}･\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t}=I･\varepsilon^{-\frac{1}{\tau}\tau}\)
\(~~=I･\varepsilon^{-1}=I･\frac{1}{\varepsilon}\fallingdotseq0.368I\)
（\(I=\frac{E}{R}\))とする。
\(\varepsilon\) は自然対数の底で、約2.718となります。
以上のことから、時定数\(\tau=C･R~~[s]\) 後の変化は、必ず減少分は印加電圧Eの36.8[%]になり、上昇分は63.2[%]になることが分かります。
CR回路の放電特性
今度は、下のCR回路でコンデンサの放電特性についてシミュレーションしてみると、抵抗の端子間電圧\((V_R)\)とコンデンサの端子間電圧\((V_C)\)は、お互いに逆の動きになっていることがわかります。
回路のスイッチが②側に接続されている間は、コンデンサには十分に電荷が蓄えられておりコンデンサの電圧は電源電圧と同じ\(V_C=5V\)になっています。次に、スイッチを①側に接続するとコンデンサに蓄えられていた電荷が抵抗を介して放電(放出)されるためコンデンサの電圧は減少していきます。
これらの変化を式で表すと次にようになります。
$$V_C=E･\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t}~~~~~[V]$$
$$V_R=-E･\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t}~~~~~[V]$$
$$i=-\frac{E}{R}･\varepsilon^{-\frac{1}{CR}t}~~~~~[A]$$
なお、放電時の時定数についても充電時と全く同じで、時定数\(\tau=CR~~[s]\) 後の各電圧・電流の値は、初期値から63.2[%]の値となります。
任意の電圧になるまでの時間
ここまで、CR回路における充電時・放電時の電圧の変化について調べてきましたが、今度は、任意の電圧\(V_p\)になるまでの時間を求めてみたいと思います。
考え方は、充放電の式を時間\(t\)に変換するだけですので、以下の式で表すことができます。
＜充電時＞
$$t=-C･R･\ln(1-\frac{V_p}{E})~~~~~[s]$$
＜放電時＞
$$t=-C･R･\ln\frac{V_p}{E}~~~~~[s]$$
例として、下記のCR回路において充電時は、0Vから2.5Vになるまでの時間と放電時は、5Vから3Vになるまでにの時間を求めると次のようになりました。
計算式を使って検証してみると、
＜充電時＞
$$t=-C･R･\ln(1-\frac{V_p}{E})=-1u･1k･\ln(1-\frac{2.5V}{5V})=0.69[ms]$$
＜放電時＞
$$t=-C･R･\ln\frac{V_p}{E}=-1u･1k･\ln\frac{3V}{5V}=5.1[ms]$$
となり、シミュレーションの結果と一致しました。
